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samedi 28 mars 2015

stella octangula

La stella octangula, nommée ainsi par Johannes Kepler, peut être vue comme l'intersection de deux tétraèdres réguliers,
ou encore comme un octaèdre étoilé, c'est à dire un octaèdre où on a posé sur chaque face un tétraèdre régulier.
Pour le construire, j'ai utilisé des baguettes de 20 cm découpées dans des tourillons, aux bouts desquelles j'ai vissé deux pitons à vis. L'attache se fait par des collerettes .

J'ai commencé par fabriquer l'octaèdre pour ne pas me perdre dans la construction : au bout du compte, sur chaque sommet, il n'y aura pas moins que  8 arêtes !
Puis j'ai posé les tétraèdres par dessus.

La construction comporte 12 + 8 * 4 = 36 baguettes.

La troisième partie de la construction consiste à faire passer au sommet de chaque tétraèdre une ficelle de manière à faire apparaître un cube .

A partir de là, on peut avoir une petite réflexion  sur les rapports de volumes de ces trois solides de Platon, et sur les pavages de l'espace.

On sait paver l'espace avec des cubes de même taille, tout le monde en a fait l'expérience depuis son plus jeune âge.
Imaginons que l'on pose plusieurs cubes de cette sorte de manière à paver l'espace.
Oublions alors les cubes en ficelles, on a alors construit une structure composée de tétraèdres et d'octaèdres, chaque quart d'octaèdre se complétant avec ceux qui sont dans les cubes voisins.
La structure composée d'octaèdres et de tétraèdres pave donc l'espace.

On a vu dans une précédente activité que le volume de l'octaèdre  est égal à quatre fis celui du tétraèdre régulier de même longueur d'arête.
Le cube que nous avons formé a une longueur de côté égale à \sqrt 2 fois celle du côté de l'octaèdre . Le volume du cube que nous obtenons est donc \( \sqrt{2})^3 = 2 \sqrt 2 fois plus grande que celle du carré de même longueur d'arête . On garde ce fait sous le coude et on continue l'exploration: Le cube est composé d'un octaèdre entier, de 8 tétraèdres et de 12 quarts d'octaèdres, dont une diagonale est figurée par les arêtes des cubes. On peut compléter les octaèdres si avec quelques baguettes supplémentaires .
Faisons les comptes , le volume du grand cube est donc celui de 4 octaèdres et de 8 tétraèdres, ce qui équivaut au volume de 6 octaèdres ou encore de 24 tétraèdres. Le volume d'un cube de la même arête est donc \frac{6}{2 \sqrt2 } = \frac{3 \sqrt 2} {2} fois plus grand que celui de l'octaèdre . On trouve donc les formules :
Pour l'octaèdre régulier d'arête a: V = \frac{\sqrt 2}{3} a^3
Pour le tétraèdre régulier d'arête a : V = \frac{\sqrt 2}{12} a^3
On peut aussi faire le rapport du volume de la stella octangula sur celui du cube : ainsi, le volume de l'étoile est celui du cube ôté des 12 quarts d'octaèdre. On a vu que le volume du cube est celui de 6 octaèdres. Donc la volume de l'étoile est de 3 octaèdres, soit la moitié du volume du cube qui la contient. Encore une fois, la perception du volume n'est pas évidente, je n'aurait pas parié sur ce rapport avant le calcul. Si on veut dessiner la stella octangula avec un logiciel de géométrie dans l'espace, il suffit de commencer en donnant les coordonnées des sommets, qui sont aussi ceux du cube.

lundi 23 mars 2015

Happening pendant la semaine des maths

Au lycée, pendant la semaine des maths, j'ai affiché quelques énigmes sur l'icosaèdre tronqué que j'ai monté dans le préau. Les élèves pouvaient accrocher leur réponses.


Il y avait une affiche qui expliquait comment construire des tétraèdres par pliage. Le but du jeu était d'en construire un maximum et de les empiler pour obtenir un tétraèdre de Sierpinki. J'ai beaucoup invité les élèves qui étaient sous le préau à en construire. Au final, vendredi midi, nous avions fabriqué 256 pièces avec des feuilles A5 et les avons empilé  pour obtenir une pyramide de 1.33 mètres environ. Voici les dernières photos avant destruction.


dimanche 15 mars 2015

pi day sur la plage du D day

Avec un jour de retard, comme souvent quand je fête les anniversaires, je voulais célébrer le pi day d'un manière ludique en essayant de quarrer le cercle.
Sur la plage d'Asnelles, je vais tracer de manière approximative un carré de même aire qu'un disque donné.
Dans mes bagages, une tige, une ficelle , un rateau, des coquilles de moules ramassées sur place .
Cette méthode n'est pas du tout acceptable par les grecs qui refusaient l'usage des coquilles de moule et de tout autre instrument que le compas et la règle pour résoudre ce problème . De plus, j'utilise une méthode expérimentale ,avec tous les défauts de mesure que cela peut engendrer . Mais c'est toujours jouissif de faire de la géométrie sur la plage .

La construction peut se résumer ainsi :
report de la longueur de Pi sur une droite ( opération interdite par les grecs)
construction géométrique de la racine carrée
construction du carré.

Je décris la méthode sur ce fichier geogebra .
https://tube.geogebra.org/student/m843075

dans un premier temps, je choisis une unité et je trace un cercle de centre A de rayon 1 unité.

Le but du jeu sera donc de tracer un carré de la même aire que ce disque . Je l'ai ratissé parce que ça fait plus joli, je crois.


Voila l'opération que le grecs auraient bannie . Je clôture le disque à l'aide de coquilles de moules trouvées sur place .

Je  trace un diamètre avec la tige [BC] .


En posant la ficelle le long de la muraille de moules pour obtenir une demie circonférence, une valeur expérimentale de pi ;

Je reporte cette longueur .

ainsi que le diamètre du cercle. L'intersection de (BC) avec cet arc de cercle est le point D .


Je veux maintenant tracer le cercle de diamètre [AD] , pour cela , j'obtiens le milieu du segment en traçant la médiatrice.




Il reste à tracer la droite perpendiculaire au diamètre passant par B . Pour cela j'ai tracé le symétrique de C par rapport à B, puis la médiatrice de [CC'].



Cette droite coupe le cercle en deux points M et N . Par construction, la longueur BM est égale à la racine carrée de pi. Il reste juste à terminer le carré de côté [BM] .







Le carré a la même aire que le disque .

Ce fut intéressant de dessiner sur la plage, même s j'avoue que c'est un peu gratuit parce que je n'avais pas d'élèves , c'était samedi. J'imagine qu'on peut essayer de faire faire des constructions sur une plage, mais après avoir pas mal anticipé, en travaillant sur la figure à la règle et au compas, et sur la transposition de la méthode de construction avec d'autres outils, dans un univers plus grand que celui de la feuille .

J'ajoute que sur les plages normandes, le 14 mars, on se gèle .
Comme Archimède avait trouvé qu'une valeur fractionnaire approchée de pi était 22/7, et que ça, ça correspond à une date française, je propose qu'on fasse un jour de pi le 22 juillet . Bon, il n'y aura pas d'élèves, mais on sera mieux sur la plage .

Merci à mon fils François pour m'avoir suivi et pour avoir pris les photos ...

mardi 3 février 2015

arc capable

Un exercice peut être hors programme, mais intéressant dans la manipulation, et qui peut amener d'intéressantes méthodes de construction une fois qu'on a admis le résultat.
Un plan de la côte normande, que j'ai plastifié .

Voici l'énoncé : Un bateau navigue sur la Manche par une nuit nuageuse . Le GPS tombe en panne . Le capitaine aperçoit au loin les lumières des phares de Port en Bessin, de Courseulles et de Ouistreham . Il mesure les angles azimutaux entre ces différents phares .
Entre Port en Bessin et Courseulles, il trouve un angle  de + pi/6 .
Entre Courseulles et Ouistreham, il trouve un angle de + pi/4
Où se trouve le bateau ?
Derrière la feuille plastifiée, j'ai placé trois punaises aux positions des trois phares . On dispose de plus d'un feutre effaçable et de deux équerres ( une équerre à 30°,60°, 90° et une équerre à 45° )

Je noterai B le bateau, P Port en Bessin, C Courseulles et O Ouistreham
Phase d'exploration  : En faisant les côtés de l'équerre autour de deux punaises, on peut déterminer la position des points qui vérifie (BC, BO) = pi/ 4 . On obtient un bel arc de cercle . De même pour le deuxième angle . Le bateau est à l'intersection des deux arcs de cercle qui n'est pas C .
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On admet ensuite le théorème de l'arc capable :

Théorème —  Soient A et B deux points du plan et \alpha un réel donné tel que  0 < \alpha  < {\pi}. L'ensemble des points M du plan différents de A et B tels que \scriptstyle \widehat{AMB} \, = \, \alpha  est un arc de cercle  \underset{AB}{\frown} ouvert ( c'est-à-dire dont les extrémités A et B sont exclues).

On peut justifier ce théorème à l'aide du théorème de l'angle inscrit.
La construction à la règle, au compas et au rapporteur ( ou bien avec geogebra  ) de ces arcs de cercle demande une petite réflexion . J'ai utilisé la médiatrice et le théorème de l'angle au centre pour trouver le centre des arcs de cercle, 

EDIT : Lors du stage de jeudi, une collègue a immédiatement juxtaposé les deux équerres dans la bonne position, j'ai trouvé ça brillant . Même si ça annihile toutes les considérations sur la nécessité de la construction des arcs de cercles.
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jeudi 22 janvier 2015

Un ancètre des mathématiques dynamiques

En regardant les premiers essais de dessins animé sur une chaîne youtube , je suis tombé par hasard sur une pépite fascinante datant de 1911 ou 1912. Elle est l'oeuvre d'un professeur allemand, Ludwig Münch, dont je n'ai pas trouvé d'autres traces par ailleurs . Il a réalisé de nombreux dessins animés didactiques, des folioscopes  (flip-books ) montrant des propriétés géométriques, des démonstrations, ainsi que des recherches de lieux géométriques qui n'ont rien à envier à une animation sur geogebra, même si son travail a sans doute demandé beaucoup plus de travail de construction que quelques clics . Je trouve son intuition des mathématiques dynamiques très novatrice, pour une époque où le dessin animé n'était pas forcément très répandu. Je vous mets  en lien le film que j'ai trouvé sur le net .


lundi 19 janvier 2015

Somme des angles d'un triangle .

Je complète ce blog avec des idées que j'avais eues il y a longtemps, mais que je n'ai jamais complétées parce que je n'enseigne plus en collège . J'ai demandé à mon fils en cinquième d'expérimenter l'objet .
1) Préparation : Dans une boîte à chaussures (pratique car suffisamment épais pour avoir des pièces de puzzle et deux faces de couleurs différentes ) , dessiner des triangles scalènes isométriques .
Découper proprement les pièces .

2) Face blanche visible , faire manipuler une petite dizaine de pièces . Quelle remarque peut-on faire ?
-Les triangles sont superposables .
-Très bien, ce qui veut dire qu'il y a des égalités pour quoi ?
-Pour les longueurs, pour les angles .
-Très bien, peux tu coder les angles égaux par des couleurs ?

Un triangle avait déjà été codé avec trois couleurs données.
Avant de coder les angles, on superpose bien les triangles pour voir s'il sont bien positionnés et ne pas se tromper de sommets . J'avais d'ailleurs dans le jeu laissé un triangle qui n'était pas isométrique . Après une brève discussion, il a été enlevé du jeu .



Une fois que les pièces ont été codées , le jeu est retourné . La consigne est d'obtenir un hexagone .
Ca ne vient pas tout de suite, mais on peut voir après deux trois essais-erreurs qu'il est nécessaire de poser côte à côte des côtés de même longueur .
Deux essais ont été nécessaires avant de trouver, mais on peut remarquer qu'on essaie de tourner autour d'un centre .

Une fois la solution trouvée, on pose un papier dessus puis on retourne la feuille .

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On peut alors faire une petite discussion sur les angles , opposés par le sommet, alterne-internes, correspondants ...
La question suivante : couper cet hexagone en deux en enlevant trois triangles, que remarque-t-on ?
Ca fait un angle plat . les trois angles du triangle font un angle plat.

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J'aime bien l'idée du puzzle à double face . Il est nécessaire d'avoir des faces différentes pour que la solution du puzzle soit plus facile à trouver ( si les pièces ne sont pas dans le même sens, on ne trouve pas ) . De plus, en retournant l'objet, on voit les propriétés mathématiques .
On peut  alors demander de reproduire les trois triangles à la règle et au compas .