Wikio - Top des blogs - Sciences exactes

lundi 31 janvier 2011

un théodolite rudimentaire .

Dans le cadre des méthodes et pratiques scientifiques traitant d'astronomie, j'ai élaboré plusieurs séquences sur la triangulation, avec pour objectif de savoir si un météore peut donner lieu à une météorite , et si oui d'estimer son point de chute . Après un étude de documents, on arrive à la constatation qu'un météore qui s'éteint vers 25 à 35 km d'altitude a des chances de donner lieu à une météorite . Encore faut-il mesurer ou calculer cette altitude .
La première séance sert à présenter le problème et les outils de mesure, simplifiés afin de donner du sens aux notions d'azimut et de hauteur d'un astre,afin que le fait de manipuler l'objet de mesure donne un sens à cette même mesure .

Dans un premier temps, les élèves ont manipulé un quadrant, afin de mesurer des angles et d'en déduire des hauteurs de batîments ou d'arbres .
Le quadrant est en fait constitué d'un rapporteur gradué entre 0 et 90°, avec un fil à plomb . On peut le munir d'un viseur constitué d'un piton à vis et d'un clou dont la tête est au même niveau que le centre du piton .


Après deux exercices sur feuille, voila les élèves partis dans la cour . Comme je n'ai pas pu récupérer les hectomètres des professeurs de sport, qui étaient dans une salle extérieure, les mesures ont été faites en pas . J'ai dû improviser, mais je trouve cela assez bienvenu de faire manipuler d'autres unités de longueur, pour peu que les élèves les manipulent avec rigueur, dans la mesure avec un pas régulier comme dans le calcul et la rédaction .


Après que les élèves ont fait une mesure, j'ai demandé aux élèves s'ils étaient capables de mesurer la hauteur d'un immeuble qui dépassait du toit du lycée .
-non, parce qu'on ne sait pas à quelle distance au sol il se trouve .
Alors, j'ai tenté l'expérience suivante, que j'ai trouvée sur ce site .
On bande les yeux d'un élève .
On demande à un élève de s'éloigner du groupe et d'émettre un bruit ( coup de sifflet, frapper dans les mains ). L'élève aveuglé pointe du doigt la direction de façon précise, mais a bien du mal à estimer la distance . Où se trouve le camarade ? Sur une demi-droite, que l'on peut tracer , mais on ne sait pas trop en quel point .
On demande alors à un second élève de de bander les yeux . On le place un peu plus loin du premier élève, on redéplace l'émetteur de bruit et on renouvelle l'expérience . Là encore, les élèves ont du mal à savoir de quelle distance vient le son, mais sont capables de pointer assez précisément la direction . En prolongeant les demi-droites, on retrouve la position de l'émetteur du son .
Ainsi, sans connaître la distance, avec deux mesures tirées de positions différentes, on peut déterminer précisément la source du son . Et le placer sur un plan . Encore faut-il mesurer les angles du triangle.
Alors je sors mon théodolite .
Il est assez rudimentaire mais a pour but de fixer les idées . Et puis le budget maths de mon lycée ne permet pas d'en acheter un .
J'ai une tablette haute avec un trou pour la porter qui traîne dans le grenier . Je prends .


Sur deux faces opposées d'une boîte en carton, j'opère un trou au centre à l'aide d'un stylo . J'ai dessiné un rapporteur orienté à partir du nord dans le sens négatif que je colle sur la partie supérieure de la boîte, après avoir percé un trou au centre .
Sur deux couvercles de glace, j'opère aussi un trou en centre . Je glisse un tourillon dans la boîte , que je maintiens à l'intérieur en glissant les couvercles et en les positionnant contre les deux faces intérieures de la boîte .

Je fixe une punaise ou un clou juste au dessus du rapporteur , ainsi qu'un quadrant à l'aide d'une punaise . Le clou et le quadrant sont orientés de la même façon .


Une boussole et un niveau qui permettent de positionner l'instrument dans la bonne position pour effectuer un mesure de l'azimut et de la hauteur d'une cible à un endroit, puis un peu plus loin.



Après être remontés en salle, un point est fait sur l'azimut et la hauteur . Et puis un exercice où, à partir des mesures d'azimut, on trace le triangle formé par les trois élèves.
On peut ainsi déterminer les distances avec un dessin à l'échelle, qui rappelle bien l'importance de la direction du nord . Les semaines prochaines, quitte à utiliser la loi des sinus et le théorème d'Al-Kashi, nous déterminerons les distances par calcul, puis nous déterminerons la position dans le ciel d'un météore, au moment ou il s'embrase et au moment où il s'éteint , afin d'avoir une estimation de l'endroit où il pourrait tomber . Des schémas dans divers plans seront nécessaires pour comprendre le problème .
le plan et les exercices proposés .
Par la suite, les dernières sénaces portent sur la distance terre lune ou la distance d'une étoile au soleil .

Sur ces séances que je trouve riches et intéressantes, j'ai tout de même quelques questionnements : je ne suis pas très rigoureux sur la trajectoire qui n'est pas en ligne droite , j'utilise des propriétés de première . Certes, si je ne les utilise pas, je ne vais pas loin du tout . Suis je dans le cadre des MPS ?
Si vous avez des avis, des critiques, des conseils, n'hésitez pas à faire des commentaires .

samedi 29 janvier 2011

bande dessinée et mathématiques : 1) les mathématiques comme fond

Avec les mathématiques, mon autre passion est la bande dessinée . Comme chaque année, à la fin janvier, avec le festival d'Angoulème, la bande dessinée est à l'honneur, je me suis dit que c'était un bon moment pour commencer à parler de bande dessinée et de mathématiques .
Dans certains albums, le monde mathématique sert au fond du récit, dans d'autres, c'est plutôt à la forme qu'elle offre des ouvertures .
Pour l'instant, je cherche dans ma bibliothèque les albums dont l'histoire s'inspire des mathématiques et des mathématiciens . La liste ne sera donc pas exhaustive, mais libre à vous de me signaler les ouvrages que j'aurais oubliés .
humour
L'idée fixe du savant Cosinus 1899( Christophe)


Christophe était un savant reconnu de son temps et passait son temps libre à faire des petits miquets . Son savant Cosinus serait inspiré par le mathématicien Jacques Hadamard et sa légendaire distraction , ou par Henri Poincaré. Ses envies d'aventure ne dépasseront pas les limites de Paris .

Quadratino 1910 (Antonio Rubino)
Héros de sept histoires courtes, Quadration, un héros à la tête carrée, fait une bêtise dans chaque aventureet sa tête se transforme systématiquement en une autre figure. Heureusement, maman Géométrie, grand mère Mathématiques et tante Algèbre arrangent tout à fin .

Les Shadocks 1968 ( Jacques Rouxel)
héros bien connus de la télévision, les Shadocks multiplient les références à la logique et aux mathématiques, même si c'est pour mieux les déformer .



la bosse des maths 1962( Francis )
reprise d'un mini récit Spirou, cette courte BD raconte l'histoire d'un petit garçon pas très intelligent qui, en se cognant, acquiert la bosse des maths et devient un génie le temps que sa bosse se résorbe . Amusant.

Le chat(Geluck)
De nombreux gags sur la logique et les mathématiques qui ont même donné lieu à une étude de Daniel Justens .

Exploitables pour un cours.

Anselme Lanturlu ( JP Petit)


De nombreuses bandes dessinées didactiques qui amènent avec humour à se poser des questions mathématiques. J'ai proposé cette source à des élèves de TPE, qui ont trouvé matière à bricolage et réflexion . L'ensemble des bandes est disponible librement ici.

La fievre d'urbicande 1990 ( schuiten, Peeters )


Une maladie étrange frappe la ville d'Urbicande . Un cube posé négligeamment sur un bureau commence à s'agrandir et à se multiplier suivant une logique implacable, se transformant peu à peu en un octaèdre gigantesque, par la méthode de l'abbé René-Just Haüy.


Cette méthode peut sans doute donner lieu à des exercices de recherche en première S, afin d'aborder les suites .
Je n'ai pas pu m'empêcher de faire un petit bricolage . Cette bande dessinée nous y invite si fort ...
Avec des cubes en plastique ( appelés cubes de glace) de 3 couleurs différentes, et de la pate à fixer, on peut construire l'objet à la première génération,

puis à la seconde,

la troisième .
Je n'ai plus assez de cubes pour faire la quatrième .

On peut alors de poser la question du nombre de cubes nécéessaires à la n^ième génération, ainsi que le nombre de bout de pate à fixer nécessaire (ou alors la surface à peindre ) .

Histoire des mathématiques et des mathématiciens

Le théorème de Morcom ( Peeters, Goffin)


Dans une construction de l'histoire qui rappelle Citizen Kane, le journaliste découvre peu à peu les secrets d'un mathématicien génial récemment décédé qui a contribué à décrypter les messages secrets d'Enigma . Une biographie déguisée d'Alan Türing .


Logicomix ( Par Apóstolos K. Doxiàdis, Christos Papadimitriou; Alecos Papadatos, Annie Di Donna )


Après l'oncle Petros et la conjecture de Goldbach, l'auteur Doxiadis poursuit sa thématique de la recherche de la vérité mathématique aux portes de la folie. Une lecture de l'histoire de la crise de la logique au début du 20eme siècle, les doutes des mathématiciens, et le héros,Bertrand Russel, montré d'abord comme un homme, et pas seulement un esprit pur, susceptible de faire des erreurs dans sa vie . La mise en abyme montrant les auteurs s'interrogeant sur l'histoire qu'ils sont en train de raconter, avec leurs questionnements et leurs doutes, apporte encore plus de profondeur à ce récit . Les idées philosophiques planent très haut, les héros s'approchent souvent du vertige . Une belle présentation de ce que deviennent les mathématiques au début du 20eme siècle...
Mon libraire n'en revenait pas d'avoir dévoré un livre qui parlait de mathématiques.

Hypathie 2010 ( Pécout, Greiner )
la belle Hypathie est désormais célèbre depuis le film sorti l'année dernière . Une bande qui reprend le destin tragique de cette femme de sciences . De beaux moments, par exemple quand, reprenant les travaux de Ptolémée, elle construit un astrolabe .



Les cours de maths apparaissent dans nombre de bandes dessinées à succès traitant de l'enfance ou du monde de l'éducation : le petit Spirou, Titeuf ou Kid Paddle ou encore les Profs .

La fois prochaine, je parlerai sans doute des mathématiques comme inspiratrice au niveau de la forme et la structure.

dimanche 23 janvier 2011

autour de la parabole

Deux bricolages que j'ai utilisés en début d'année scolaire, pour se poser la question : " est ce que les courbes tracées sont des paraboles avec des façons de les appréhender bien différentes .
Acte 1 : en module :



Le premier bricolage utilise le fait que la parabole est le lieu des points équidistants d'une droite et d'un point hors de cette droite .
Sur une planche, visser une tringle à rideaux  " chemin de fer " tout en haut .
Ensuite, découper le crochet en plastique avec un couteau pour avoir une surface plane  .
Sur la planche, scotcher une feuille de papier qui sera remplacée après chaque utilisation ou du film adhésif blanc velleda .
Avec quatre barres de meccano, fabriquer un losange . Deux sommets opposés sont fabriqués avec des vis et écrous, les deux autres sont fabriqués à l'aide de punaises qui sont fixées l'une sur le crochet modifié, l'autre sur la planche .
Accrocher un fil à plomb sur la punaise du crochet et un élastique entre les deux vis .
Il faudra sans doute ajouter un niveau pour s'assurer que le fil est bien perpendiculaire à la tringle .
tracer au feutre le point d'intersection entre l'élastique et le fil à plomb .
La punaise sur la tringle est mobile. Tout en la bougeant, repérer quelques autres points d'intersection entre l'élastique et le fil à plomb.



Une fois qu'on en a quelques uns, voire une dizaine, on peut poser la question de la courbe formée si on plaçait tous ces points d'intersection .
C'est la première fois de l'année que l'on peut se poser la question du lieu géométrique et les questions qu'il faut se poser en premier lieu : qu'est ce qui est fixe dans cet objet ? qu'est ce qui est mobile ? De quel point étudie-t-on la position ?
La forme évoque la parabole, mais il faut justifier qu'on obtient bien une parabole .
Deux approches, l'une numérique, l'autre géométrique que l'on travaillera sur Geogebra .
Approche géométrique
Mais avant de travailler sur geogebra, il faut sans doute un peu dégrossir la figure pour en dégager les points importants .
Un obstacle important à la compréhension de la figure est le fait que les barres de Meccano cachent presque le reste de la figure, alors qu'il faut avant tout réfléchir sur la nature de la droite portée par l'élastique . En réflechissant ensemble, on arrive au fait que le point M est sur la médiatrice du segment [HF] qui lie les deux punaises , puis que le point M est équidistant de la droite d et du point F . On arrive à la définition de la courbe avec foyer et directrice .
On essaye ensuite d'imaginer cette construction sans les contraintes physiques de la longueur de la tringle et de la longueur de la barre de meccano . La courbe est-elle limitée ?
Une fois cela mis à plat, les élèves vont modéliser la courbe en utilisant géogébra . C'est alors assez facile .
Plus facile que d'insérer les applets de geogebra en tout cas.

Approche numérique .
Comment définit-on une parabole ? Pour l'instant, les élèves en ont une conception numérique, c'est une courbe d'équation y = a x² + b x + c . Il faudrait trouver a, b et c . Mais cela n'a un sens que si on se place dans un repère . Il faut le choisir .
Les objets fixes sont fixes dans ce repère . On peut choisir ce repère en fonction de ceux-ci . En posant la tringle comme axe des abscisses et la punaise comme le point de coordonnées F( 0 ; - 2 ) , par exemple .
Les points mobiles sont définis à partir de la seconde punaise, puisque c'est elle qui permet de trouver les points de la parabole . Puisqu'elle appartient au rail, son ordonnée est 0 , et ses coordonnées sont H( x ; 0 ), avec x réel et le but du calcul est de trouver le point M d'abscisse x, tel que HM = FM .

Entracte:

En devoir à la maison, j'ai demandé de construire la figure la plus simple possible sur geogebra et de la sauver sous leur nom dans le répertoire classe du LCS, et de déterminer algébriquement l'équation de cette courbe en plaçant l'axe des abscisses sur la tringle à rideaux et la punaise au point de coordonnées (0 ; - 2) .
Dans un autre exercice de ce devoir, j'ai demandé aux élèves de déterminer l'équation de la parabole qui passe par trois points donnés non alignés .
Après le rendu des devoirs, on peut conclure que par trois points non alignés, on peut trouver un seul trinome qui correspond et donc qu'il y a une seule parabole .

Acte 2 :
En tendant une drisse entre deux points situés à la même hauteur, on obtient une courbe . Cette courbe est-elle une parabole ? Justifier .
Un débat s'instaure .
Réponses des élèves :
Si c'est une parabole, on peut déterminer son équation quitte à choisir un repère .
On peut utiliser un logiciel de traitement d'image pour avoir des coordonnées;
Ou un logiciel de géométrie .
Une fois qu'on peut trouver les coordonnées de 3 points, on peut obtenir le trinome. Si les autres points vérifient l'équation trouvée, alors c'est une parabole, sinon...
J'ai pris une photo de cette coube, et je l'ai placée dans leur répertoire de travail .
En ouvrant un fichier geogebra et en insérant cette image, les élèves peuvent placer cette image dans un repère et placer quelques points de cette coube, afin d'en déterminer les coordonnées de façon plutôt précises .
Les élèves à l'aise ont choisi leur repère de façon à ce que les coordonnées soient les plus simples possible, d'autres ont choisi un repère de façon aléatoire et ont dû se trouver devant un système d'équations très compliqué .
En déplaçant le repère et en changeant les axes avec la molette, on peut obtenir ceci :


Quand ils ont trouvé les valeurs de a, b , c pour que la courbe passe par trois points, ils peuvent remarquer qu'un quatrième point ne passe pas par cette parabole .

En fait, cette courbe s'appelle une chainette, et son équation utilise des fonctions qu'ils verront en terminale .

Ainsi, à deux reprises , les élèves se sont posé la question " est ce que la courbe est une parabole ?" et la méthode de réponse n'est pas la même : dans le premier cas, c'est une parabole, la formule qu'on va trouver est un trinome pour tous les points ( prouvée dans le cadre général) , dans le second, ce n'est pas une parabole et on trouve un contre-exemple .

dimanche 16 janvier 2011

la planche du fakir

Voici un bricolage que j'ai présenté à mes élèves de seconde en début d'année pour qu'ils retrouvent peu à peu les propriétés de géométrie analytique .
Préparation de l'objet :
coller une feuille A3 à petit carreaux et clouer des petits clous en formant des carrés de 2 cm de côté en utilisant ce quadrillage . Cette planche est préparée pour un fakir un peu douillet car les pointes sont dans le bois et pas à l'extérieur ...
Sur une feuille de rfodoïd transparent, dessiner un axe gradué tous les 2 cm, puis avec une perforatrice, perforer la feuille toutes les graduations et se préparer plusieurs jeux de graduations .
Les points peuvent être représentés par des petites rondelles, les segments et les droites par des élastiques .
L'activité suivante fait dégager chez les élèves plusieurs stratégies qui peuvent préparer au calcul vectoriel et à la géométrie analytique . ( déplacement d'un point à un autre, puis théorème de Pythagore , et réciproque, calcul d'une longueur, milieu d'un segment, médiane d'un trirangle isocèle, etc... )

Le théorème de Pick, fort à propos sur cet exercice de fakir, permet aux élèves un peu perdus de trouver des résultats, et des bons élèves de découvrir une formule étrange et amusante .
Une fois que les élèves ont des stratégies, je place un repère à l'aide de mes bandes transparentes et leur demande de transcrire leurs données grâce au coordonnées .

samedi 8 janvier 2011

une jolie égalité

Allez, une petite curiosité, qui vous inspirera peut être ...
En bricolant un peu avec les nombres, j'ai retrouvé une jolie formule :



Or le chiffre des dixièmes est 1 .
C'est aussi le nombre de diviseurs de 1 .
Le chiffres des centièmes est 2, et c'est aussi le nombre de diviseurs de 2.
Le chiffre des millièmes est 2 et c'est aussi le nombre de diviseurs de 3 .
Le chiffre suivant correspond au nombre de diviseurs de 4, et ainsi de suite ...

En généralisant,



En tapant les premières décimales sur l'inverseur de Plouffe (magnifique site qui peut reconnaître les propriétés d'un nombres) , je vois que mon hypothèse paraît bonne ;

Comment justifier ce résultat ?

En regardant le nombre de diviseurs, et en repèrant les décimales qui sont égales à 2, on pourrait reconnaître les nombres premiers .

Est ce une piste pour déterminer si des grands nombres sont premiers ? Pourquoi ?