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samedi 26 février 2011

un octaèdre en ballon

Pour l'anniversaire de mon fils,je me suis essayé aux ballons à sculpter . Après avoir lu les techniques de base ( commencer à tourner du côté du noeud, laisser un peu de queue pour ne pas éclater la ballon , la torsion simple pour fixer les bulles ), ma déformation professionnelle m'a fait penser à construire des polyèdres avec ce nouveau matériau . Après moult essais et beaucoup de ballons crevés, j'ai fabriqué cet octaèdre.
Je m'arrêterai là, parce que je pense que c'est le seul solide de Platon que je peux fabriquer avec un seul ballon . Pourquoi ?

dimanche 13 février 2011

pliage fractal

Ces jours-ci, j'ai acheté le numéro de Tangente consacré à Benoit Mandelbrot et aux fractales . Je vais aborder les suites en première, et j'ai pensé à un pliage qui m'avait beaucoup amusé il y a quelques années .
On plie une feuille en deux, on trace la diagonale,,et on marque le milieu du pli . On trace un trait perpendiculaire au pli passant par ce point et s'arrêtant sur la diagonale .
On découpe ce segment puis on plie en escalier . Un côté du rectangle doit se retrouver sur le haut de la feuille .
Après avoir assoupli le pli, on aène ce rectangle vers l'intérieur et on obtient une espèce de pavé " en creux" .
La première étape est terminée .
On peut compter différentes choses :
C'est le moment d'introduire les notations .
Le nombre de coup de ciseaux nécessaires à chaque étape: un
Le nombre de pavés supplémentaires obtenus à chaque étape :vn
Le nombre total de pavés à chaque étape : wn
Si l'on considère qu'on plie à 90°, et qu'on remplit ces pavés droits, le volume ajouté à chaque étape sn
Le volume total des pavés obtenu à chaque étape : tn
u1 =1 ; v1=1 ; w1 = 1 ; s1 et t1 dépendent des dimensions de la feuille et valent 1/32 L * l.
Je demande de faire les comptes après la septième étape .
Etape 2 : on place le milieu de chaque pli et on plie en escalier .
Puis on plie vers l'intérieur . une espèce de masque apparait .
u2 = 2 ; v2 =3 ; w 2 = 4 ; s2 = 3/8 s1; t2 = t1 + 3/8 t1 ( résultats trouvés à l'aide des réduction de rapport 1/2)

On peut continuer les plis . Etape 3
u3 = 4 ; v3 = 9 ; w3 = 13 ; s3= 9/64 *s1 ;
t 3 = t2 + 9/64 * t1
Etape 4
Plus le montage avance, plus il est difficile de couper certaines bandes, le nombre de plis rendant chaque fois plus épais la bande à couper . Il serait sans doute intéressant d'ailleurs de compter les épaisseurs à chaque position .
Mais c'est plus difficile à formaliser avec des suites.

Etape 5, je vais m'arrêter là cette fois_ci, même si je crois déjà avoir obtenu l'étape 6 avec une feuille A3 .
A mesure que le nombre d'étapes augmente, on ne voit de moins en moins des pavés , mais la structure ressemble de plus en plus au triangle de Sierpinski .
C'est aussi un plaisir de dessiner cet objet en perspective .
La suite u est géométrique de raison 2, la suite v est géométrique de raison 3, la suite s est géométrique de raison 3/8 . Les élèves trouvent assez rapidement les formules et les utilisent pour calculer le 7eme terme .
Les autres suites sont des séries. Les élèves trouvent les résultats en calculant tous les termes des autres suites mais pourront vérifier les résultats quand on abordera la somme des termes d'une suite géométrique .

dimanche 6 février 2011

Bande dessinée :2) les mathématiques comme inspiratrice de la forme

On peut rapprocher certaines bandes dessinées de concepts mathématiques . Les mathématiques ont-elles consciemment inspiré cette forme? Inconsciemment ?
Je vais citer principalement deux auteurs, Marc Antoine Mathieu et Etienne Lécroart, qui poussent souvent très loin leur recherche formelle et trouvent l'inspiration dans des champs proches de concepts mathémathiques .
On pourra aussi trouver des choses passionnantes dans les livres de l'Oubapo ( ouvroir de bande dessinée potentielle, petite soeur de l'oulipo ), et faire des analogies avec des concepts mathématiques, mais je ne pense pas qu'on puisse faire la table de Queneleiev de l'Oubapo avec uniquement des contraintes mathématiques .Selon la définition prêtée à Raymond Queneau, l’auteur oulipien est « un rat qui construit lui-même le labyrinthe dont il se propose de sortir ». Il y a là la notion de jeu, d'expérience quasi scientifique et l'idée que les mathématiques peuvent être des outils de création ou pour se sortir du labyrinthe .Pour de nombreux auteurs de l'OuBaPo, c'est essentiellement le jeu et l'expérimentation qui sont les moteur de la création. Parfois, les mathématiques s'invitent et c'est très intéressant . Parmi les auteurs OuBaPiens, c'est surtout Etienne Lécroart qui va suivre cette optique . Voici quelques exemples :

La contrainte de pluri-lecturabilité est souvent explorée dans les ouvrages de l'oubapo . Parfois, ce sont des strips qui peuvent se lire horizontalement et verticalement, parfois c'est plus compliqué , comme dans la planche
quatre vingt quinze d'Etienne Lécroart
Sur un gaufrier 5*4, on peut créer un trajet sur la page en chsoisissant la case suivante parmi les voisines de droite afin de lire un nouveau strip . Comme le nom de cette bande l'indique, il y a 95 possibilités . C'est un bel exercice de dénombrement


topologie

Le morlaque (une bande qui se mord la queue et revient au point de départ) est aussi un exercice classique développé en particulier dans l'oupus 3, en voici une variante réalisée sur un ruban de möbius pour la carte de Voeux de l'association 2008 .

Symétrie Centrale
Le palindrome de lettres est assez connu ( tu l'as trop écrasé, César , ce Port-Salut ) . On peut dire que les positions des lettres,sinon leur forme , sont symétriques par rapport à un axe, passant par la lettre centrale, ou entre les deux lettres centrales ). On peut imaginer un palindrome de syllabes, de phrases . En bande dessinée, ce qui peut tenir lieu de phrase est la case de bande dessinée .
La première case correspond avec la dernière, la deuxième avec l'avant-dernière, et caetera jusqu'à la case centrale .
Etienne Lécroart est un habitué du genre . Outre deux histoires courtes parues dans Lapin ou dans les vacances de l'Oubapo ,
il a réalisé une bande dessinée de 30 pages tournant autour d'une machine à remonter dans le temps, où les dialogues changent complétement de signification si on inverse leur ordre . Un vrai tour de force, absolument bluffant et hilarant .
Cercle Vicieux d'Etienne Lécroart

rotation de 45°
Dans l'oupus 3 de l'oubapo, Lécroart nous propose une bande dessinée en gaufrier ( cases carrées régulières )que l'on peut lire normalement puis avoir effectué une rotation de 45° dans le sens des aiguilles d'une montre .
La première case reste au début, mais après avoir tourné la planche, c'est la première case de la ligne suivante qui devient la deuxième .

Suites et séries
Le tirage à la ligne de Jean Christophe Menu et Etienne Lécroart est paru dans l'Oupus 1 . Il s'agit d'une expansion d'une courte BD . A la première étape, il y a deux cases AA . pour la suivante, on intercale des cases autour et entre les cases BABAB . La troisième étape se fait de la même manière CBCACBCACBC . Une idée qui peut amener au denombrement des cases, au suites et aux séries . Et aussi un bon jeu que l'on peut faire entre amis, en écrivant des phrases.


Si les contraintes qu'il utilise sont souvent liées aux mathématiques, ce n'est pas obligatoire, mais tout son travail est intéressant et jubilatoire . LE mieux est d'aller voir son site et de lire ses bandes .
Etienne Lécroart a dans le coin de la tête et en préparation un livre de bandes dessinées basées sur des contraintes mathématiques. Géométriques et algébriques . J'ai hâte .

Marc Antoine Mathieu
Marc Antoine Mathieu est scénographe et auteur de bandes dessinées . Ses influences en bande dessinée sont à chercher entre autres autour de Schuiten et Peeters, et aussi de Francis Masse . Il n'est pas membre de l'oubapo, même si ces recherches peuvent s'en rapprocher .

La série de Julius Corentin Acquefacques a de nombreuses pistes de lecture, elle représente un monde qui se situe entre le procès de Kafka et Brazil . Avec beaucoup de mises en abîme . En rêvant, le héros découvre des failles dans la structure de son monde ou dans celle du récit et part en quête de rétablir l'équilibre. Quitte à tomber nez à nez devant le paradoxe et à s'y perdre . Cette série est très originale et certaines trouvailles sont vraiment bluffantes qui font que cette bande dessinée ne ressemble à aucune autre.
En tant que personnage de BD, le héros subit la logique propre à la BD et explore les problèmes de son monde :
Dans le tome 1, l'origine, à partir d'un paradoxe temporel et d'une mise en abîme, le problème des fractales est lentement mais sûrement mis en jeu .
Le tome 2 montre un obsession de la mesure de l'espace, de belles architectures, mais porte moins sur les mathématiques dans son concept.
Le tome 3, le processus, est basé sur la spirale .
Le tome 4, le début de la fin, est basée sur la symétrie axiale, c'est sans doute le plus étrange de la série .
Le tome 5, la 2,333eme dimension est basé sur les règles de la perspective, chamboulées lorsqu'un point de fuite est perdu .

Par ailleurs, Marc Antoine Mathieu a écrit d'autres bandes dessinées formidables, mais sans ce coeur mathématique . Toutefois, dans le magazine Bang ! n°4 , il nous propose les patrons de deux cubes à monter, où l'on peut voir des personnages essayer de sortir d'un labyrinthe formé d'escalier , ce qui peut faire penser à une interprétation en 3 D de la gravure d'Escher, "Relativité" .

D'autres bandes mettant en jeu les mathématiques :
les probabilités
Coquetele d'Anne Baraou et Sardon ( L'association )
Trois dés non ordonnés pour fabriquer un strip au hasard .

la topologie
Le ruban de Moebius apparait à de nombreuses reprises pour figurer un périple sans fin ou un monde étrange. On en a vu un exemple au dessus. En voici d'autres :
Promethea d'Alan Moore et J H williams III


rotation de 180°
Entre 1903 et 1904, alors que la bande dessinée en est à ses débuts, Gustave Verbeek crée une soixantaine de planches bien particulières . Ses upside downs qui relatent les aventures de deux personnages, Lady Lovekins et le vieux Mufaroo ,comportent 6 images qu'on lit de gauche à droite puis de haut en bas, comme d'habitude, mais on s'aperçoit que l'histoire n'est pas terminée .
Pour avoir la suite, on doit retourner la planche. La rotation inverse l'ordre des vignettes : La sixième devient la septième, la première devient la dernière . Les images retournées ont souvent une toute autre signification . Ce principe sera repris par l'oubapo, dans l'oupus 3 .

La géométrie sphérique
La géométrie de l'obsession de Mazzucchelli
Dans ce court livre paru en 1997, il y a déjà de nombreuses problématiques développées de façon plus ample dans Asteryos Polyp, prix spécial du jury à Angoulème cette année , parmi elles celle de l'intellectuel cartésien qui a du mal à rentrer dans le monde des sentiments . Un cartographe qui s'évertue à reproduire un globe terrestre exact et qui a du mal à comprendre que l'amour ne vérifie pas de règles n'est pas la solution d'une équation.

Je m'en voudrais de ne pas citer Lewis Trondheim, dont les recherches de formes amène parfois sur des pistes mathématiques, comme dans OVNI ( avec Fabrice Parme) qui fait pense à un gigantesque arbre de probabilité, Killoffer qui explore parfois des formes géométriques à la Escher.

J'en oublie sans doute . J'ai entendu par exemple parler de bandes dessinées inspirées par la théorie des ensembles et les diagrammes de Venn .
Les livres de l'Oubapo sont très stimulants et ouvrent des portes :